Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов

Определение1.Тройка некомпланарных векторов именуется правой (левой) если, находясь снутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами и от него к , човершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке)


Тройка правая Тройка левая

Определение 2.Векторным произведением вектора на вектор именуется вектор , длина и направление которого определяются критериями:

1. , где - угол меж .

2. .

3. - правая Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов тройка векторов.

Характеристики векторного произведения

1. (свойство антиперестановочности сомножителей);

2. (распределительное относительно суммы векторов);

3. (сочетательное относиельно числового множителя);

4. (равенство нулю векторного произведения значит коллинеарность векторов);

5. , т. е. момент сил равен векторному произведению силы на плечо.

Если вектор , то .

Определение 3.Смешанным произведением 3-х векторов именуется число, определяемое последующим образом: . Если векторы заданы своими координатами: , то

~ .

Характеристики Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов смешанного произведения

1. Нужным и достаточным условием компланарности векторов является равенство = 0.

2. Объем параллелепипеда, построенного на векторах

:

Примеры решения задач

Задачка 1. Отыскать координаты векторного произведения , если , .

Решение. Найдем и . Векторное произведение, по определению, равно .

Задачка 2. Силы и приложены к точке . Вычислить величину момента равнодействующей этих сил относительно точки .

Решение. Найдем силу и плечо Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов : . Момент

сил рассчитывается по формуле

, а его модуль .

Задачка 3.Даны координаты вершин параллелепипеда: . Отыскать объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из верхушки С, угол меж вектором AD и гранью, в какой лежат векторы АВ и АС.

Решение. По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов:

.

Объем этого параллелепипеда .

С другой стороны, объем параллелепипеда , - это площадь параллелограмма: .

, тогда высота .

Угол меж вектором и гранью найдем по формуле

.

потому что вектор перпендикулярен грани, в какой лежат векторы . Угол меж этим вектором и вектором находим по известной формуле

. Разумеется, что разыскиваемый угол .

Итак: .

Задачка 4.Проверить, лежат Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов ли в одной плоскости точки , . Отыскать линейную зависимость вектора , если это может быть.

Решение. Найдем три вектора: .

.

Три вектора лежат в одной плоскости, если они компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю: . Как следует, эти три вектора линей-

но зависимы. Найдем линейную зависимость от .

.

Решая эту систему, получим Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов , т.е. .

Задачки

1. . Вычислить: а) ; б) ;

в) .

2. . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и .

3. Заданы векторы . Отыскать координаты векторов:

а) б) ; в) .

4. Вычислить площадь треугольника с верхушками

.

5. В треугольнике с верхушками , и отыскать высоту .

6. Отыскать вектор , если векторы имеют последующие координаты:

.

7. Сила приложена к точке . Найти момент этой силы относительно точки .

8. Установить Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов, образуют ли векторы базис в огромном количестве всех вектров, если а) ; б) .

9. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если

.

10. В тетраэдре с верхушками в точках и

вычислить высоту .

11. Проверить, компланарны ли данные векторы:

а) ;

б) .

12. Обосновать, что четыре точки лежат в одной плоскости.

13. Отыскать координаты четвертой верхушки тетраэдра ABCD , если Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов понятно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен V:

а) ;

б) .

Домашнее задание

1. Упростить выражение .

2. Отыскать площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где - единичные векторы, угол меж которыми равен .

3. Даны векторы . Отыскать вектор

.

4. Дан треугольник с верхушками . Отыскать его площадь.

5. Даны силы , приложенные к точке . Найти величину и направляющие косинусы Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов момента равнодействующей этих сил относительно точки .

6. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах:

1) , где - взаимно перпендикулярные орты;

2) .

7. Обосновать, что точки лежат в одной

плоскости.

8. Даны верхушки тетраэдра . Отыскать длину высоты, опущенной из верхушки О на грань АВС.

9. Векторы , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная,

что , вычислить .

10. Вектор перпендикулярен к Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов векторам , угол меж равен . Зная, что , вычислить .

11. Даны векторы . Вычислить .

12. Установить, компланарны ли векторы , если

1) ;

2) ;

3) .

13. Обосновать, что точки лежат в одной плоскости.

14. Вычислить объем тетраэдра, верхушки которого находятся в точках .

15. Даны верхушки тетраэдра . Отыскать его высоту, опущенную из верхушки D.

16. Объем тетраэдра , три его верхушки находятся в точках . Отыскать координаты Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов четвертой верхушки D, если понятно, что она лежит на оси .

Ответы к задачкам

1) . 2) . 3) (-3, 5, 7), (-6, 10, 14), (-12, 20, 28).

4) . 5) 5. 6) (-20, 7, -11). 8) Нет, да. 9) 17/2. 10) . 11) Да, нет.

13) (0, 0, 0), (0, 1, 0).

Ответы к домашнему заданию

1) . 2) . 3) . 4) . 5) . 6) 0. 8) 11.

9) 24. 10) . 11) -7. 12) Да, нет, да. 14) 3. 15) 11. 16) (0, 8, 0), (0, -7, 0).


venediktov-osnovaniya-dlya-voplya-bili-osnovanij-dlya-uvolneniya-ne-bilo.html
venera-s-ptichego-poleta-10-glava.html
venera-s-ptichego-poleta-6-glava.html