Векторный метод описания движения тела

(рис.2)

В этом способе положение тела на линии движения его движения задается радиусом-вектором r, проведенным из случайной точки О, именуемой полюсом, в заданную точку линии движения. Точка О непременно должна быть связана с избранным вещественным телом, именуемым телом отсчета. Вектор , проведенный из точки в точку положения тела на линии движения (рис.2) именуется Векторный метод описания движения тела перемещением тела. Точки нумеруются в порядке возрастания времени движения тела. Длина участка линии движения меж этими точками именуется длиной пути тела либо методом, пройденным телом, меж этими точками.

Скорость и ускорение a тела определяются как

, .

Вектор скорости всегда ориентирован по касательной к траектории перемещения тела, в направлении его импульса ,а вектор Векторный метод описания движения тела ускорения a, согласно второму закону Ньютона, – в направлении результирующей силы , действующей на тело.Направления векторов Fи p, а означает и векторов a и v при движении тела по криволинейной линии движения не совпадают.

Изменение скорости тела и его перемещение за время t его движения определяются соотношениями

, ,

где и исходная скорость и изначальное положение тела при Векторный метод описания движения тела .

При движении тела с неизменным ускорением уравнения движения тела будут иметь вид

Пример 1. См. пример 4.5.

Координатный способ описания движения тела.В этом способе для описания движения тела обычно выбирается декартова (прямоугольная) система координат XYZ с началом в случайной точке О, связанной с телом отсчета. Такая система координат именуется Векторный метод описания движения тела лабораторной системой отсчета. Может быть также внедрение других систем координат: полярной, цилиндрической, сферической и т.д. Направления координатных осей X,Y,Z выбираются произвольно, но правильно, чтоб решение задачки оказалось очень обычным.

В декартовой системе координат положение тела на его линии движения относительно начала О избранной системы отсчета задается Векторный метод описания движения тела уравнением ,где (x, y, z) – координаты положения вещественной точки либо центра тяжести (ЦМ) тела, а i, j, k–орты (единичные векторы) координатных осей X, Y, Z (рис.2). Скорость тела по определению равна

где – составляющие вектора скорости тела в направлении осей X, Y, Z (проекции вектора на оси X, Y,Z).

Ускорение тела по его определению

,

где Векторный метод описания движения тела – составляющие вектора ускорения aтела в направлении осей X, Y, Z (проекции вектора aна оси X, Y, Z).

Величины скорости и ускорения тела равны

, .

В случае двумерного движения тела (z=0) ориентации векторов и aпо отношению к оси X определяются соотношениями

.

В случае плоского движения конфигурации скорости тела и и его Векторный метод описания движения тела перемещения и повдоль осей X и Y равны

где и – составляющие исходной скорости и координаты исходного положения тела повдоль осей X и Y при .

При движении тела с неизменным ускорением уравнения движения тела повдоль осей X и Y будут иметь вид

.

Пример 1.Тело движется по закону .Отыскать зависимость его скорости и Векторный метод описания движения тела ускорения от времени t.

Дано: . Отыскать:

Решение: Согласно условию .Откуда и .Составляющие скорости и скорость тела

, ,

.

Составляющие ускорения и ускорение тела

,

.

Ответ: , .

Пример 2. Тело движется по закону . Отыскать уравнение траектории перемещения тела и направление движения тела повдоль нее. Чему равны положение тела, его скорость и ускорение в момент времени ?

Дано: . Отыскать:

Решение: Исключая синус и косинус из Векторный метод описания движения тела уравнений движения при помощи тождества , получаем уравнение линии движения тела . Это уравнение эллипса с полуосями A и B. Задавая значения аргумента функций , получим последовательность точек , которая гласит о том, что тело движется из точки по эллипсу по часовой стрелке (рис.3).

(рис.3)

Положение тела на эллипсе задается координатами Векторный метод описания движения тела x и y, которые с учетом, что при : равны . Расстояние от центра эллипса до тела в момент времени равно

.

Составляющие скорости тела , . Величина скорости

.

Составляющие ускорения . Величина ускорения

.

Ответ: , тело движется по эллипсу по часовой стрелке, , , , .

Пример 3. Тело бросили с высоты с исходной скоростью под углом α к горизонту. Отыскать наивысшую высоту его Векторный метод описания движения тела подъема, время и дальность полета.

Дано: . Отыскать:

Решение: Выберем начало О системы координат XOY на поверхности земли под точкой броска, ось X направим параллельно поверхности земли, а ось Y перпендикулярно к ней (рис.1). В избранной системе отсчета уравнения движения тела будут иметь вид

В точке наибольшего подъема , потому наибольшая высота подъема тела

Время полета тела Векторный метод описания движения тела до его падения на землю находим из условия , которое приводит к квадратному уравнению . Отсюда находим (t>0)

. Дальность полета тела .

Ответ:

Пример 4. Решить предшествующую задачку в предположении, что тело брошено с поверхности земли.

Дано: . Отыскать:

Решение: Повторяя решение примера 1 в предположении , получим

.

Ответ: ,

Пример 5.Тело брошено с поверхности земли под углом α к горизонту. При всем этом оказалось Векторный метод описания движения тела, что дальность его полета в 4 раза больше наибольшей высоты подъема тела. Отыскать угол броска тела.

Дано: Отыскать:

Решение:Используя решение примера 4, получим

Отсюда либо

Ответ:

Пример 6. Тело брошено с поверхности земли вертикально ввысь и побывало на некой высоте в моменты времени 1 с и 2 с. Отыскать эту высоту и исходную скорость броска Векторный метод описания движения тела камня. Через какое время тело свалится на землю?

Дано: Отыскать:

Решение: Выберем начало О системы координат на поверхности земли, а ось Y направим ввысь. В избранной системе отсчета уравнение движения тела имеет вид . Полагая , приходим к квадратному уравнению . Решения этого уравнения и соответствуют моментам времени, в которые тело побывало на Векторный метод описания движения тела высоте . Они должны удовлетворять аксиоме Виета для квадратного уравнения: Откуда

Время полета тела до его падения на землю находим из условия

Откуда

Ответ:

Пример 7. Ракета, запущенная с поверхности земли с исходной скоростью 20 , под углом к горизонту побывала на некой высоте с интервалом времени 2 с. Отыскать эту высоту.

Дано: . Отыскать:

Решение: Выберем начало О системы координат XOY Векторный метод описания движения тела на поверхности земли в точке пуска ракеты, ось X направим параллельно поверхности земли, а ось Y перпендикулярно к ней (рис.1). В избранной системе отсчета уравнение движения тела будут иметь вид .

Полагая , приходим к квадратному уравнению решение которого имеет вид . Отсюда получаем

.

Откуда высота ракеты над землей в моменты времени и Векторный метод описания движения тела с учетом, что , равна

Ответ:

Естественный метод описания движения тела. В этом способе движение тела описывается в системе координат (τ,n), агрессивно связанной с передвигающимся телом (рис.4). Такая система отсчета именуется естественной. Ось τ направляют в направлении вектора скорости vтела, а ось n перпендикулярно к ней к центру кривизны траектории перемещения тела. Положение Векторный метод описания движения тела тела на линии движения его движения в естественной системе отсчета задают дуговой координатой

(рис.4)

При движении тела по кривой направления векторов ускорения aи скорости v тела не совпадают. Обозначим угол меж векторами aи v. Проекцию вектора ускорения aна ось τ, равную α, именуют касательным (тангенциальным) ускорением, а проекцию aна ось n, равную , - обычным (центростремительным Векторный метод описания движения тела) ускорением тела.

Можно показать, что величина скорости vтела, его касательное , обычное и полное a ускорения тела и угол в еcтественной системе отсчета определяются соотношениями

,

где – радиус кривизны линии движения в точке нахождения тела.

При движении по кривой с неизменной скоростью При движении тела по прямой .

Изменение скорости тела Векторный метод описания движения тела и путь , пройденный им за время t, равны

,

где и – исходные скорость и положение тела относительно избранного начала отсчета при .

Уравнения движения тела при имеют вид

,

где – проекция вектора a полного ускорения тела на направление скорости v его движения и имеет символ ( ) либо ( ) при ускоренном и замедленном движении тела.

Пример 1. Тело бросили с поверхности земли Векторный метод описания движения тела с исходной скоростью под углом α к горизонту. Отыскать радиусы кривизны и R линии движения в точке броска тела и в точке его наибольшего подъема.

Дано: , α, g. Отыскать:

Решение: Выберем начало О системы отсчета XOY в точке броска тела, ось X направим параллельно поверхности земли, а ось Y перпендикулярно к ней. Полное Векторный метод описания движения тела ускорение тела в данной задачке понятно.

(рис.5)

Обычное ускорение тела в точке его броска (рис. 5) равно и радиус кривизны линии движения в этой точке

.

В высочайшей точке линии движения и скорость тела . Радиус кривизны линии движения в высочайшей точке

Ответ:

Пример 2. Тело движется повдоль осей X и Y по закону: Отыскать Векторный метод описания движения тела угол меж направлениями векторов скорости и полного ускорения тела и радиус кривизны линии движения в точке, в какой тело окажется в момент времени .

Дано: Отыскать:

Решение: и составляющие скорости тела и его скорость

,

и составляющие ускорения тела и его полное ускорение

Касательное ускорение тела

.

Обычное ускорение тела

.

Угол меж направлениями векторов и при определяется условием

Радиус кривизны Векторный метод описания движения тела в точке линии движения, в какой тело будет находиться в момент времени : .

Ответ: , .

Пример 3. Тело бросили под углом α к горизонту с исходной скоростью . Отыскать касательное и обычное ускорение тела, угол меж направлениями векторов и и радиус кривизны линии движения в точке, в какой тело окажется в момент Векторный метод описания движения тела времени t.

Дано: . Отыскать:

Решение: В данной задачке нужно использовать две системы координат: лабораторную XOY и естественную , избираемые стандартным образом (рис.6). Полное ускорение тела в данной задачке понятно.

Рис.6

Построим метод решения задачки:

Возникновение знака в формулах тригонометрических функций обосновано тем, что они рассчитываются через характеристики и , определенными в системе координат XOY Векторный метод описания движения тела, в какой угол является отрицательным (отсчитывается от оси Y против часовой стрелки).

Ответ:

Вращательное движение

Вращательное движение тела описывается углом поворота тела , его угловой скоростью ω и угловым ускорением ε , которые являются аналогами величин s, v, , применяемыми для описания поступательного движения тела. Согласно определению

.

Характеристики являются векторами. Направление векторов совпадает с направлением оси вращения Векторный метод описания движения тела тела (рис.7) и связано с ним правилом правого винта: если правый буравчик крутить по направлению вращения тела, то направление его движения укажет направление векторов .Вектор ε в случае фиксированной недвижной оси вращения также ориентирован повдоль оси вращения. Он параллелен вектору ω при ускоренном вращении тела и антипараллелен ему при его замедленном вращении Векторный метод описания движения тела.

Рис.7

Простый поворот dϕтела всегда вектор, но угол поворота тела является вектором только при вращении тела вокруг фиксированной оси его вращения.

Изменение угловой скорости тела Δω и угол его поворота за время вращения тела t равны

,

где – исходная угловая скорость и изначальное угловое положение тела при t=0.

При вращении Векторный метод описания движения тела тела с неизменным угловым ускорением уравнения вращательного движения имеют вид

.

где +ε и –ε соответствуют ускоренному и замедленному вращению тела.

Вместе с угловыми величинами (рад) и ω (рад/с) для описания вращательного движения употребляются величины N (об) – число оборотов тела и n (об/с) – частота вращения тела, определяемые соотношениями и . В определениях этих величин уравнения вращательного Векторный метод описания движения тела движения при имеют вид

Но, если ε=0 и то .Исключительно в этом случае частота вращения тела может рассчитываться по формуле и можно ввести понятие периода T вращения тела (n=1/T). Это можно отнести к описанию вращения Земли вокруг собственной оси.

3. Связь меж линейными и угловыми величинами

Угловые величины для всех точек вращающегося Векторный метод описания движения тела тела относительно всех параллельных осей вращения схожи, а линейные величины различны. Для установления связи меж ними употребляют определение радианной меры угла , опирающегося на дугу длиной s окружности радиуса R: и определения линейных величин. В итоге получим последующие уравнения связи

,

где в случае Угол меж векторами aи vв Векторный метод описания движения тела некий момент времени t определяется соотношением

рис.8

В теории представляет энтузиазм векторная связь меж векторами vи ω: , гдеr -вектор, проведенный из случайной точки О на оси вращенияZ в произвольную точку вращающегося тела (рис.8). Направления векторов v и ωcвязаны меж собой правилом правого винта. Переходя к скалярной форме, получим , где – угол меж векторами Векторный метод описания движения тела ω и r, расстояние от рассматриваемой точки тела до его оси вращения Z либо радиус окружности, по которой эта точка крутится.

Пример 1. Тело, крутящееся по окружности радиуса R с неизменным угловым ускорением, прирастило свою частоту вращения от до оборотов за секунду, совершив при всем этом оборотов. Отыскать угловое ускорение вращения Векторный метод описания движения тела тела и время его вращения, угол его поворота, исходную и конечную угловые скорости. Чему равны путь, пройденный телом повдоль окружности, его исходная и конечная скорости, касательное, центростремительное и полное ускорение?

Дано: Отыскать:

Решение:Построим решение задачки в виде поочередного метода. Число оборотов N тела при дается уравнениями

.

Откуда находим угловое ускорение и время вращения Векторный метод описания движения тела тела

.

Угол поворота и угловые скорости тела: . Линейные величины: .

Ответ: , ,

.

Относительное движение

Разглядим произвольную недвижную систему отсчета XOY с началом в точке О, и передвигающуюся систему отсчета , положение начала координат которой относительно точки О задается радиус-вектором , а точка движется относительно XOY со скоростью и ускорением .Обозначим через положение, скорость и Векторный метод описания движения тела ускорение некой точки (она может принадлежать и жесткому телу) в системе координат XOY, а через те же характеристики этой точки в системе координат

Рис.9

Беря во внимание, что (рис.9) и поочередно дифференцируя по времени обе части этого равенства, придем к последующим уравнениям связи

меж скоростями и ускорениями рассматриваемойточки в недвижной и Векторный метод описания движения тела передвигающейся системах отсчета.

Движение в недвижной СО именуют также абсолютным, движение подвижной СО относительно недвижной – переносным, а движение тела в передвигающейся СО – относительным.

Пример 1. Тело, движущееся со скоростью , сталкивается полностью упруго с передвигающейся со скоростью вертикальной громоздкой стеной. Отыскать скорость тела после соударения со стеной.

Дано: . Отыскать:

Решение: Будем Векторный метод описания движения тела считать стену, передвигающуюся со скоростью , передвигающейся системой отсчета. Обозначим скорость тела в этой системе отсчета.Тогда скорость те ладо его столкновения

.После столкновения со стеной тело вследствие полностью упругого удара приобретет относительно стены скорость , и его скорость станет равной .Из этих 2-ух уравнений получим: .

В проекциях на направление движения тела и стены при Векторный метод описания движения тела их встречном движении получим . В случае же движения стены и тела в одном направлении . Отсюда следует: если стена движется от тела со скоростью , то тело после столкновения с ней остановится .Чтоб тело отскочило от удаляющейся стены, она должна удаляться от него со скоростью .

Ответ: .

Пример 2.Скорость струи пара перед Векторный метод описания движения тела попаданием на лопатки паровой турбины равна . Какой должна быть скорость лопаток, чтоб вся кинетическая энергия струи пара могла перейти в энергию вращения турбины?

Решение: Чтоб вся кинетическая энергия струи пара перебежала в энергию вращения турбины, его скорость после отражения от лопаток должна приравниваться нулю . Согласно примеру 1 получим . Это соотношение Векторный метод описания движения тела производится в рабочем режиме турбины.

Ответ: .

Пример 3. Два автомобиля движутся по одной дороге. Скорость первого автомобиля , а второго – . Отыскать относительную скорость движения автомобилей при их движении в одном направлении и навстречу друг дружке.

Дано: . Отыскать:

Решение: Свяжем с первым автомобилем передвигающуюся СО. Тогда , а относительная скорость второго автомобиля относительно первого , его абсолютная скорость относительно земли Векторный метод описания движения тела . Откуда относительная скорость автомобилей .

При движении автомобилей в одном направлении в проекциях на направление их движения получим . При встречном движении автомобилей в проекциях на направление движения хоть какого из автомобилей: .

Ответ: при движении автомобилей в одном направлении, при встречном движении автомобилей.

Пример 4. Два тела кидают с Векторный метод описания движения тела поверхности земли вертикально ввысь с исходными скоростями и с задержкой по времени, равной τ. Отыскать относительную скорость движения тел в случайный момент времени.

Дано: . Отыскать:

Решение: проекции абсолютных скоростей тел на вертикальное направление их движения равны и . Проекция относительной скорости тел на вертикальное направление . Относительная скорость тел в хоть какой момент времени схожа.

Ответ: .

Пример 5. Два Векторный метод описания движения тела тела движутся в одной плоскости, их скорости меняются по закону , . Отыскать скорость движения их ЦМ, импульс системы и скорости тел относительно их ЦМ. Отличаются ли относительные скорости тел в недвижной СО и в системе их ЦМ?

Дано: , . Отыскать:

Решение:Система понятий, применяемых в данной задачке, введена в разделах7 и 12 (Центр Векторный метод описания движения тела тяжести и 2-ой закон Ньютона для системы тел).Задачку будем решать в векторной форме. Скорость ЦМ системы 2-ух точек

Импульс системы совпадает с импульсом ее ЦМ: .

Если скорость тела относительно ЦМ , а скорость ЦМ относительно земли , то скорость тела относительно земли , откуда . А именно,

,

,

Скорости тел относительно друг дружку в Векторный метод описания движения тела недвижной СО и системе ЦМ

,

другими словами относительные скорости тел в обеих системах отсчета схожи.

Ответ: , , ,

, .


venchurnij-innovacionnij-biznes-osnovnie-ponyatiya.html
venci-ternovij-i-slavi.html
venecianskaya-shkola-andrea-i-dzhovanni-gabrieli-livanova-t-l-55-istoriya-zapadnoevropejskoj-muziki-do-1789-goda.html